Det gyldne snit

Handler om at opdele et liniestykke i to stykker, således at forholdet mellem det største og det mindste stykke er lig med forholdet mellem hele liniestykket og det største. På figuren til højre opdeles liniestykket AB i det gyldne snit i punktet s. Det gyldne snit optræder i mange geometriske figurer, bl.a. i et pentagram og en logaritmisk spiral). Desuden dukker det op mange steder i naturen i forbindelse med Fibonaccitallene.

Det gyldne snit på et liniestykke


Det gyldne snit kendes også som det guddommelige snit/forhold og er anvendt mange steder i kunsthistorien, bl.a. er der forsket i det af Leonardo da Vinci, der forsøgte at påvise, at det gyldne snit ligger til grund for fx menneskets proportioner. Han lavede en version af den vitruvianske mand, Den menneskelige figurs proportioner (som nok er den mest berømte af Leonardo da Vincis tegninger) for at anskueliggøre sin hypotese. Dette bliver dog trukket i tvivl.

Pentagrammet og beslægtede figurer

Et af stederne, hvor det gyldne snit optræder, er i en regulær femtakket stjerne, et pentagram. En sådan ses på på figuren til venstre omskrevet af en regulær femkant, en pentagon. Til højre er desuden indtegnet den omskrevne cirkel, og alle relevante vinkler er indtegnet. De fem vinkelbuer vil alle være på 360°/5 = 72°. Derfor er den spidse vinkel på en tak og dens to nabovinkler alle 72°/2 = 36°. Den spidsvinklede trekant i takken er ligebenet, så de to andre vinkler i trekanten vil være (180°-36°)/2 = 72°. De stumpe vinkler ved siden af disse vinkler vil være 180°-72° = 108°.

                        

Pentagrammet og den regulære femkant med alle vinkler udregnet.

Det gyldne snit i pentagrammet

På figuren til venstre har vi nu indført sidelængden a som længden på en tak og b som sidelængden på femkanten i midten af pentagrammet. Det viser sig at forholdet a/b netop er det gyldne snit.

Udregninger af vinklerne medfører, at de to trekanter i figuren til venstre, ?QPR og ?QTS, er ensvinklede. Hvis vi derfor tager forholdene mellem ensliggende sider i hhv. den store (svagt lyserøde) og den lille (stærkt lyserøde) trekant, kommer vi frem til følgende:

Pentagrammet med udledningen af det gyldne snit.

Med sidelængderne indført, bliver det: Dette er nøjagtig samme ligning, som vi brugte til at definere det gyldne snit med, og derfor deles f.eks. liniestykket PS i det gyldne snit af punktet R.

Gyldne trekanter

De to spidsvinklede trekanter, ?QPR og ?QTS, men også den stumpvinklede trekant, ?RSQ, siges alle at være gyldne trekanter, fordi forholdet mellem deres sider er tallet f. For de spidsvinklede trekanter fremkommer det som forholdet mellem et ben og grundlinien; for den stumpvinklede trekant er det forholdet mellem grundlinien og et ben.

Også de store stumpvinklede trekanter med top i et hjørne af femkanten og de to hosliggende sider i femkanten som ben og en diagonal i femkanten som grundlinie er gyldne. Derfor er forholdet mellem en diagonal og en side i en regulær femkant tallet f.

Gyldne trekanter ses også i en regulær tikant som den der ses i figuren til højre, hvor den er tegnet ind oven på et pentagram. Her er buelængden mellem hvert hjørne i tikanten nu 36°, og derfor er de ti trekanter med toppunkt i figurens centrum ensvinklede med ?QPR i pentagrammet ovenfor og altså gyldne trekanter. Hvis vi kalder radius i tikantens omskrevne cirkel for r og tikantens sidelængde for s, kan man altså udtrykke følgende sammenhæng mellem r og s:

Regulær tikant tegnet med rødt oven på et pentagram.